5.1 单自由度磁悬浮系统数学模型
建立准确且实用的数学模型是分析、设计与控制磁悬浮轴承系统的基石。单自由度模型虽然简化，但完整揭示了磁悬浮系统“本质不稳定”的核心物理特性、线性化处理方法以及状态空间描述形式，是多自由度复杂系统分析与解耦控制的基础。本节将系统推导一个竖直方向单自由度磁悬浮系统的数学模型，涵盖其非线性电磁力方程、力学运动方程、工作点线性化过程以及标准的状态空间表达。
5.1.1 系统物理描述与电磁力方程
考虑如图1所示的最简模型：一个电磁铁（定子）置于上方，吸引一个由铁磁材料制成的平板型转子（质量为mmm）。转子仅能沿竖直方向（xxx方向）运动，其位置坐标xxx以转子与电磁铁极面之间的气隙长度来定义。当转子处于平衡位置时，气隙为x0x_0x0。电磁铁线圈中通有电流iii。该系统受到竖直向下的重力mgmgmg及其他可能的扰动外力fdf_dfd（如机械振动传递的力）的作用。
电磁铁对转子的吸引力F(i,x)F(i, x)F(i,x)遵循麦克斯韦吸力公式。根据第2.3节，对于该简单结构，其表达式为：
F(i,x)=μ0AN2i24x2=ki2x2(5.1.1)F(i, x) = frac{mu_0 A N^2 i^2}{4 x^2} = k frac{i^2}{x^2} ag{5.1.1}F(i,x)=4x2μ0AN2i2=kx2i2(5.1.1)
式中，μ0mu_0μ0为真空磁导率，AAA为磁极等效面积，NNN为线圈匝数，k=μ0AN2/4k = mu_0 A N^2 / 4k=μ0AN2/4为与电磁铁结构相关的常数。该式明确揭示了电磁力的非线性特性：与电流iii的平方成正比，与气隙xxx的平方成反比[1]。
然而，式(5.1.1)描述的单边吸引力无法实现双向控制。为了实现稳定的悬浮，实际系统均采用差动工作模式（Differential Driving Mode）。如图2所示，使用一对上下对称布置的电磁铁，分别对转子施加方向相反的吸引力F1F_1F1和F2F_2F2。设上、下电磁铁的线圈电流分别为i1i_1i1和i2i_2i2，气隙长度分别为x1x_1x1和x2x_2x2。当转子位于中心位置时，有x1=x2=x0x_1 = x_2 = x_0x1=x2=x0。定义转子从中心向上的位移为zzz（即z=0z=0z=0为平衡位置），则有x1=x0−zx_1 = x_0 - zx1=x0−z，x2=x0+zx_2 = x_0 + zx2=x0+z。
通常采用偏置电流线性化策略：两个线圈通以大小相等、方向相同的偏置电流I0I_0I0，再叠加大小相等、方向相反的控制电流ici_cic。即：
i1=I0+ic,i2=I0−ic(5.1.2)i_1 = I_0 + i_c, quad i_2 = I_0 - i_c ag{5.1.2}i1=I0+ic,i2=I0−ic(5.1.2)
此时，作用在转子上的净电磁力FemF_{em}Fem为上下电磁力之差，方向向上为正：
Fem=F1−F2=k[(I0+ic)2(x0−z)2−(I0−ic)2(x0+z)2](5.1.3)F_{em} = F_1 - F_2 = k left[ frac{(I_0 + i_c)^2}{(x_0 - z)^2} - frac{(I_0 - i_c)^2}{(x_0 + z)^2}
ight] ag{5.1.3}Fem=F1−F2=k[(x0−z)2(I0+i